题目内容
(理)如图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的对应过程:区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M,如图①;将线段AB围成一个圆,使两端点A、B恰好重合,如图②;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y轴上,点A的坐标为(0,1),如图3.图③中直线AM与x轴交于点N(n,0),则m对应n,记作f(m)=n.给出下列结论:
(1)方程f(x)=0的解是;
(2);
(3)f(x)是奇函数;
(4)f(x)在定义域上单调递增;
(5)f(x)的图象关于点对称.
上述说法中正确命题的序号是________(填出所有正确命题的序号)
解:由题意
(1)是正确命题,因为当m=此时M恰好处在与A相对的y轴上,此时N与O重合,故有f(m)=0,即 ;
(2)如图,因为在以为圆心,为半径的圆上运动,对于①当=时.的坐标为(-,1-),直线AM的方程为所以点N的坐标为(-1,0),故f( )=-1,即(2)错
(3)对于(3),因为实数m所在区间(0,1)不关于原点对称,所以f(x)不存在奇偶性.故(3)错.
(4)是正确命题,由图3可以看出,m由0增大到1时,M由A运动到B,此时N由x的负半轴向正半轴运动,由此知,N点的横坐标逐渐变大,故f(x)在定义域上单调递增是正确的;
(5)是正确命题,由图3可以看出,当M点的位置离中间位置相等时,N点关于Y轴对称,即此时函数值互为相反数,故可知f(x)的图象关于点 对称
综上知,(1)(4)(5)是正确命题,
故答案为:(1)(4)(5).
分析:由题中对映射运算描述,对四个命题逐一判断其真伪,
(1)m=此时M恰好处在与A相对的y轴上,易得N与O重合,
(2)先利用f( )=-1,判断出(2)错,
(3)在有实数m所在区间(0,1)不关于原点对称,知(3)错
(4)可由图3,由M的运动规律观察出函数值的变化,得出单调性,
(5)可由图3中圆关于Y轴的对称判断出正误
点评:本题考查了在新定义的条件下解决函数问题,是一道很好的题.关于新定义型的题,关键是理解定义,并会用定义来解题,解答本题关键是理解题设中所给的对应关系,正确认识三个图象的意义,由此对四个命题的正误作出判断,本题题型新颖,寓数于形,是一个考查理解能力的题,对题设中所给的关系进行探究,方可得出正确答案,本题易因为理解不了题意而导致无法下手,较抽象,难.
(1)是正确命题,因为当m=此时M恰好处在与A相对的y轴上,此时N与O重合,故有f(m)=0,即 ;
(2)如图,因为在以为圆心,为半径的圆上运动,对于①当=时.的坐标为(-,1-),直线AM的方程为所以点N的坐标为(-1,0),故f( )=-1,即(2)错
(3)对于(3),因为实数m所在区间(0,1)不关于原点对称,所以f(x)不存在奇偶性.故(3)错.
(4)是正确命题,由图3可以看出,m由0增大到1时,M由A运动到B,此时N由x的负半轴向正半轴运动,由此知,N点的横坐标逐渐变大,故f(x)在定义域上单调递增是正确的;
(5)是正确命题,由图3可以看出,当M点的位置离中间位置相等时,N点关于Y轴对称,即此时函数值互为相反数,故可知f(x)的图象关于点 对称
综上知,(1)(4)(5)是正确命题,
故答案为:(1)(4)(5).
分析:由题中对映射运算描述,对四个命题逐一判断其真伪,
(1)m=此时M恰好处在与A相对的y轴上,易得N与O重合,
(2)先利用f( )=-1,判断出(2)错,
(3)在有实数m所在区间(0,1)不关于原点对称,知(3)错
(4)可由图3,由M的运动规律观察出函数值的变化,得出单调性,
(5)可由图3中圆关于Y轴的对称判断出正误
点评:本题考查了在新定义的条件下解决函数问题,是一道很好的题.关于新定义型的题,关键是理解定义,并会用定义来解题,解答本题关键是理解题设中所给的对应关系,正确认识三个图象的意义,由此对四个命题的正误作出判断,本题题型新颖,寓数于形,是一个考查理解能力的题,对题设中所给的关系进行探究,方可得出正确答案,本题易因为理解不了题意而导致无法下手,较抽象,难.
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