Question

如图，半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，△BCD是平面α内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是

R•arccos

17

25

．（用R表示）

Answer 1

分析：求解本题需要根据题意求解出题目中的角MON的余弦，再代入求解，即可求出MN的两点距离．

解答：解：由已知，AB=2R，BC=R，
故tan∠BAC=

1

2

cos∠BAC=

2 5

5

连接OM，则△OAM为等腰三角形
AM=2AOcos∠BAC=

4 5

5

R，
同理AN=

4 5

5

R，且MN∥CD
而AC=

5

R，CD=R
故MN：CD=AN：AC
?MN=

4

5

R，
连接OM、ON，有OM=ON=R
于是cos∠MON=

OM2+ON2-MN2

2OM•ON

=

17

25

所以M、N两点间的球面距离是 Rarccos

17

25

．
故答案为：R•arccos

17

25

．

点评：本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球面上的点的距离求解，是中档题．