Question

在如图所示的正方体A₁B₁C₁D₁ABCD中，E是C₁D₁的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为

1. A.
   -
2. B.
   -
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：取A₁D₁中点，连接EF、DF、A₁C₁，用三角形的中位线和平行线的传递性，证出EF∥AC，得∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与AC所成的角．然后在△DEF中求出各边的长，再利用余弦定理即可算出异面直线DE与AC夹角的余弦值．
解答：取A₁D₁中点，连接EF、DF、A₁C₁，
∵正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A∥C₁C且A₁A=C₁C
∴四边形AA₁C₁C是平行四边形，可得A₁C₁∥AC
又∵△A₁C₁D₁中，EF是中位线
∴EF∥A₁C₁，且EF=A₁C₁．
由此可得EF∥AC，得∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与AC所成的角
设正方体的棱长为a，则△DEF中
DF=DE==a，EF=A₁C₁=a
由余弦定理，得cos∠DEF==＞0
可得∠DEF是锐角，因此∠DEF是异面直线DE与AC所成的角，余弦值为
故选：D
点评：本题在正方体中求异面直线所成角的余弦值，着重考查了正方体的性质和异面直线所成角的定义及求法等知识，属于基础题．