题目内容

已知圆的圆心在坐标原点O,且恰好与直线相切.
(1)求圆的标准方程;
(2)设点A为圆上一动点,AN轴于N,若动点Q满足(其中m为非零常数),试求动点的轨迹方程.
(3)在(2)的结论下,当时,得到动点Q的轨迹曲线C,与垂直的直线与曲线C交于 B、D两点,求面积的最大值.

(1);(2);(3).

解析试题分析:(1)求圆的方程,已经已知圆心坐标,只要再求得圆的半径即可,而圆心的半径等于圆心到切线的距离;(2)本题动点可以看作是由动点的运动成生成的,因此可以用动点转移法求点的轨迹方程,具体方法就是设,利用条件,求出的关系,并且用来表示,然后把代入(1)中圆的方程,就能求得动点为的轨迹方程;(3)时,曲线的方程为,直线垂直,其方程可设为,这条直线与曲线相交,由此可求得的取值范围,而的面积应该表示为的函数,然后利用函数的知识或不等式的知识求得最值.
试题解析:(1)设圆的半径为,圆心到直线距离为,则
所以,圆的方程为
(2)设动点,,轴于,
由题意,,所以 即:
代入,得动点的轨迹方程.
(3)时,曲线方程为,设直线的方程为
设直线与椭圆交点
联立方程
因为,解得,且
又因为点到直线的距离
 .(当且仅当
时取到最大值)面积的最大值为.
考点:(1)圆的方程;(2)动点转移法求轨迹方程;(3)直线与椭圆相交,面积的最值问题.

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