Question

已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。

（1）求数列的首项和公比；

（2）对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前2007项之和；

（3）（理）设为数列的第项，：

①求的表达式，并求出取最大值时的值。

②求正整数，使得存在且不等于零。

（文）设为数列的第项，：求的表达式，并求正整数，使得存在且不等于零。

Answer 1

（1）（2）（3）见解析

解析:

(1)依题意可知,。

(2)由(1)知,,所以数列的的首项为,公差,

,即数列的前项之和为。

(3) （理）===；

①；

由，解得，

计算可得，

因为当时，，所以当时取最大值。

②=，

当时，=－，当时，=0，所以。

（文）===；

；

=，

当时，=－，当时，=0，所以。