Question

已知平面上的两个定点O（0，0），A（0，3），动点M满足|AM|=2|OM|．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若经过点的直线l被动点M的轨迹E截得的弦长为2，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设M（x，y），直接利用条件求点的轨迹方程．
（Ⅱ） 求出圆心E到直线l的距离为d，根据弦长利用弦长公式求得直线l的斜率，从而得到直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），由条件|AM|=2|OM|得：，
化简整理，得：x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4．
（Ⅱ）设圆x²+（y+1）²=4的圆心E到直线l的距离为d，则，
若直线l的斜率存在，设其为k，则，即，
∴，解得，从而  ．
当直线l的斜率不存在时，其方程为，易验证知满足条件．
综上，直线l的方程为，或．
点评：本题考查直接利用条件求点的轨迹方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，
注意考虑直线的斜率不存在的情况．