Question

设M，N为抛物线C：y=x²上的两个动点，过M，N分别作抛物线C的切线l₁，l₂，与x轴分别交于A，B两点，且l₁∩l₂=P，AB=1，则
（Ⅰ）求点P的轨迹方程
（Ⅱ）求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出P点的坐标，M和N的坐标，利用导数求出过M，N的切线方程，联立后解出P的坐标，同时求出A，B的坐标，然后由AB的距离等于1求出P的轨迹；
（Ⅱ）设出MN的方程，和抛物线联立后写出根与系数关系，把P到MN的距离用电M和N的坐标表示，由弦长公式写出|MN|，代入△MNP的面积公式后整理即可证明△MNP的面积为一个定值．

解答：解：（Ⅰ）设P(x，y)，M(x1，

x

2 1

)，N(x2，

x

2 2

)，
则k=y'=2x，l1：y-

x

2 1

=2x1(x-x1)，即y=2x1x-

x

2 1

…①
同理，y=2x2x-

x

2 2

…②
联立①，②，得

x= x1+x2 2 y=x1x2

…③
又令①，②式中的y=0得A(

x1

2

，0)，B(

x2

2

，0)
因为|AB|=1，所以得(x1-x2)2=4
即(x1+x2)2-4x1x2=4，代入③式得
所求点P的轨迹方程为：y=x²-1；
（Ⅱ）设MN：y=kx+b，又由y=x²，得x²-kx-b=0
所以x₁+x₂=k，x₁x₂=-b
∴P到MN的距离为d=

|k x1+x2 2 -x1x2+b|

1+k2

|MN|=

1+k2

|x1-x2|        
∴S=

1

2

|MN|d=

1

4

|(x1+x2)2-4x1x2||x1-x2|=2．
∴△MNP的面积为定值2

点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，是综合题，考查了学生灵活处理和解决问题的能力，体现了整体运算思想方法，是难题．