Question

把正方形ABCD沿其对角线AC折成直二面角D-AC-B后，连接BD，得到如图所示的几何体，已知点O、E、F分别为线段AC、AD、BC的中点。

（1）求证：AB∥平面EOF；
（2）求二面角E-OF-B的大小。

Answer 1

解：（1）∵点O、F分别为线段AC、BC的中点，
∴OF∥AB
 ∵OF平面EOF，AB平面EOF
∴AB∥平面EOF。

（2）∵二面角D-AC-B为直二面角，连接OD
∵AD=DC
∴OD⊥AC
∵平面ADC⊥平面ABC，
∴OD⊥平面ABC
又AB=BC
∴OB⊥AC
于是可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz
由题可设OA=OB=OC=OD=2a，
∵点E、F分别为线段AD、BC的中点，
∴A（0，- 2a，0），B（2a，0，0），C（0，2a，0），D（0，0，2a）， E（0，-a，a），F（a，a，0）
∴，
设平面EOF的一个法向量为n₁=（x，y，z）
由得
取x=-1
则
∴
设平面OBF的一个法向量为n₂=（0，0，1）
∵
∴二面角E-OF-B的大小为。