Question

设函数f（x）=xlnx（x＞0），g（x）=-x+2，
（I）求函数f（x）在点M（e，f（e））处的切线方程；
（II）设F（x）=ax²-（a+2）x+f′（x）（a＞0），讨论函数F（x）的单调性；
（III）设函数H（x）=f（x）+g（x），是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=H(x)(x∈[

1

e

，e])都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）f′（x）=lnx+1（x＞0），则函数f（x）在点M（e，f（e））处切线的斜率为f′（e）=2，由此能求出函数f（x）在点M（e，f（e））处的切线方程．
（II）F（x）=ax²-（a+2）x+lnx+1，x＞0，F′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

，x＞0，a＞0，令F′（x）=0，则x=

1

2

，或

1

a

，由此进行分类讨论，能求出函数F（x）的单调性．
（III）H（x）=-x+2+xlnx，H′（x）=lnx，令H′（x）=0，则x=1，由此列表讨论，能够推导出存在实数m=1和M=2，使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=H（x），x∈[

1

e

，e]都有公共点．

解答：解：（I）f′（x）=lnx+1（x＞0），
则函数f（x）在点M（e，f（e））处切线的斜率为f′（e）=2，f（e）=e，
∴所求切线方程为y-e=2（x-e），即y=2x-e．
（II）F（x）=ax²-（a+2）x+lnx+1，x＞0
F′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

，x＞0，a＞0，
令F′（x）=0，则x=

1

2

，或

1

a

，
①当0＜a＜2，即

1

a

＞

1

2

时，令F′（x）＞0，解得0＜x＜

1

2

，或x＞

1

a

；
令F′（x）＜0，解得

1

2

＜x＜

1

a

；
∴F（x）在（0，

1

2

），（

1

a

，+∞）上单调递增，在（

1

2

，

1

a

）单调递减．
②当a=2，即

1

a

=

1

2

时，F′（x）≥0恒成立，
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当a＞2，即

1

a

＜

1

2

时，令F′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

或x＞

1

2

；
令F′（x）＜0，解得

1

a

＜x＜

1

2

；
∴F（x）在（0，

1

a

），（

1

2

，+∞）上单调递增，在（

1

a

，

1

2

）单调递减．
（III）H（x）=-x+2+xlnx，H′（x）=lnx，令H′（x）=0，则x=1，
当x在区间（

1

e

，e）内变化时，H′（x），H（x）的变化情况如下表：

x	1 e	（ 1 e ，1）	1	（1，e）	e
H′（x）		-	0	+
H（x）	2- 2 e	↘	极小值1	↗	2

又∵2-

2

e

＜2，∴函数H(x)=-x+2+xlnx(x∈[

1

e

，e])的值域为[1，2]． 
据此可得，若

m=1 M=2

，则对每一个t∈[m，M]，
直线y=t与曲线y=H（x），x∈[

1

e

，e]都有公共点；
并且对每一个t∈（-∞，m）∪（M，+∞），直线y=t与曲线y=H（x），x∈[

1

e

，e]都没有公共点．
综上，存在实数m=1和M=2，使得对每一个t∈[m，M]，
直线y=t与曲线y=H（x），x∈[

1

e

，e]都有公共点．

点评：本题考查曲线的切线方程的求法，考查函数的最大值与最小值的应用．综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思维要求较高．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质的灵活运用．