题目内容
如图，过椭圆中心的直线l与经椭圆长短轴端点的两条切线l1，l2分别交于点A、B，O是l1与l2的交点，△AOB被椭圆分成四部分，若这四部分图形的面积满足S1+S3=S2+S4，则直线l有
- A.0条
- B.1条
- C.2条
- D.3条
B
分析：由图可知，当直线绕中心从竖直方向逆时针旋转时，S2-S3的差是定值；S1-S4的差单调减小，当减小到S1-S4=S2-S3时，满足题目要求，继续减小时，不会再满足．所以这样的直线有且仅有一条．
解答：由图可知，当直线绕中心从竖直方向逆时针旋转时，
S2的值恒为椭圆面积的一半，
S3的值也不变，
即S2-S3的差是定值；
而S1单调减小，
S4单调增大，
则S1-S4的差单调减小，
当减小到S1-S4=S2-S3时，
满足题目要求，继续减小时，不会再满足．
所以这样的直线有且仅有一条．
故选B．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查数形结合思想，化归与转化思想．
分析：由图可知，当直线绕中心从竖直方向逆时针旋转时，S2-S3的差是定值；S1-S4的差单调减小，当减小到S1-S4=S2-S3时，满足题目要求，继续减小时，不会再满足．所以这样的直线有且仅有一条．
解答：由图可知，当直线绕中心从竖直方向逆时针旋转时，
S2的值恒为椭圆面积的一半，
S3的值也不变，
即S2-S3的差是定值；
而S1单调减小，
S4单调增大，
则S1-S4的差单调减小，
当减小到S1-S4=S2-S3时，
满足题目要求，继续减小时，不会再满足．
所以这样的直线有且仅有一条．
故选B．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查数形结合思想，化归与转化思想．
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