题目内容

回答下列两个问题，给出例子或给出证明。

（1）对任意正整数n，在平面上是否都存在n伸不在同一条直线上的点，使得任意两点间的距离都为正整数？

（2）在平面上是否存在两两不同的无限点列组成的点集M，使得M内所有点不在同一条直线上，且M内任意两点间的距离为正整数？

解析：（1）存在，对于n∈N⁺，取互不相同的n个质数P₁，P₂，…，P_n，

令a_i=P₁P₂…P_i，b_i=P_i+1P_i+2…P_n，（i=1，2，…n－1），显然a_i，b_i∈N⁺，

令m=P₁P₂…P_n，于是m=a_ib_i（i=1，2，…，n－1）

在y轴上取点A（0，2m），在x轴上取点，易知这n个点A，B₁，B₂，…，B_n_－1不在同一条直线上，且

（2）不存在，不然，假高存在不共线的无限点列组成的点集M，且M内任意两点间的距离都为正整数，取不共线的三点A、B、C∈M，注意到三角形两边之差之绝对值小于第三边，则M内其余点到点A与点B的距离之差，只能取－|AB|到|AB|之间的整数值，而－AB到AB之间的整数值总共只有有限个，由双曲线定义可知，M内除去A、B、C三点的其余无限多个点必在以点A和点B为两个焦点的有限条互不相交的双曲线上，称它们为AB族双曲线，同理，M内除去A、B、C三点的其余无限多个点必在以点B和点C为两个焦点的有限条互不相交的双曲线上，称它们为BC族双曲线。

由于A、B、C三点不共线，故两族双曲线的交点显然只有有限个，然而M内除去A、B、C三点的其余无限多个点中的每个点既在AB族双曲线上，又在BC族双曲线，从而必在两族双曲线的交点上，而两族双曲线的交点个数有限，矛盾？

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；（2）请先阅读下列材料，然后根据要求回答问题．
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．
证明：线段AN、AL、BL、BM、CM、CN的长分别设为a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂，设LN、LM、MN的长为x、y、z，
x²=a₁²+a₂²-2a₁a₂cos60°=a₁²+a₂²-a₁a₂
同理：y²=b₁²+b₂²-b₁b₂，z²=c₁²+c₂²-c₁c₂，
x²+y²+z²=a₁²+a₂²+b₁²+b₂²+c₁²+c₂²-a₁a₂-b₁b₂-c₁c₂
…
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∴当x=-

时，g（x）有最小值4，没有最大值．
请回答：上述解答是否正确？若不正确，请给出正确的解答；
（3）设a_n=

，请提出此问题的一个结论，例如：求通项a_n．并给出正确解答．
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证明：线段AN、AL、BL、BM、CM、CN的长分别设为a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂，设LN、LM、MN的长为x、y、z，
x²=a₁²+a₂²-2a₁a₂cos60°=a₁²+a₂²-a₁a₂
同理：y²=b₁²+b₂²-b₁b₂，z²=c₁²+c₂²-c₁c₂，
x²+y²+z²=a₁²+a₂²+b₁²+b₂²+c₁²+c₂²-a₁a₂-b₁b₂-c₁c₂
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请利用（1）的结论，把证明过程补充完整；
（3）已知n边形A₁′A₂′A₃′…A_n′内接于边长为1的正n边形A₁A₂…A_n，（n≥4），思考会有相应的什么结论？请提出一个的命题，并给与正确解答．
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时，u有最大值，u_max=

，显然u没有最小值，
∴当x=-

时，g（x）有最小值4，没有最大值．
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，请提出此问题的一个结论，例如：求通项a_n．并给出正确解答．
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