Question

如图，某开发区旁边有一条东北走向的公路l，开发区内有两工厂A，B（B在A正东4km），A工厂到公路l的距离为(

6

-

2

)km．建立适当的坐标系，解决下列问题：
（Ⅰ）求公路l所在直线的方程；
（Ⅱ）在公路l上有一站点M到A，B两工厂路程之和最小，现要建一条经过M的环行公路，使公路上每一点到A，B两工厂路程之和相等，求环行公路所在曲线的方程；
（Ⅲ）开发区内有一物资储藏库C位于B工厂西北距B工厂

2

km，在（Ⅱ）中的环行公路上设一站点N，使站点N到C，B两地的距离之和最小．试问：满足要求的点N在什么位置（不要证明），并求|NC|+|NB|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A，B所在直线为x轴，中点为原点，建立直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），设直线l的方程：y=x+m，由点A到l的距离为(

6

-

2

)km可得关于m的方程．解出m后即得l的方程；
（Ⅱ）设P（x，y）设所求曲线上任意一点，则由题意知点P（x，y）的轨迹是以A，B为焦点，且长轴最短的椭圆．设此椭圆的方程为

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，则方程组

x2 b2+4 + y2 b2 =1 y=x+2 3

有唯一解，消元后
令△=0可得b²=4，进而得a²=8；
（Ⅲ）由题意知C（1，1），在（Ⅱ）中的环行公路上设一站点N，使站点N到C，B两地的距离之和最小，即在

x2

8

+

y2

4

=1上求一点N，使|NC|+|NB|最小．当N为直线l_AC：x-3y+2=0与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1交点之一时，|NC|+|NB|最小，通过解方程组可得求；

解答：解：以A，B所在直线为x轴，中点为原点，建立直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），
（Ⅰ） 设直线l的方程：y=x+m，则由题意知m＞2，直线l在点A的右上方，

|-2+m|

2

=

6

-

2

，|-2+m|=2

3

-2，
由m＞2得m=2

3

，∴直线l的方程：y=x+2

3

；
（Ⅱ）设P（x，y）设所求曲线上任意一点，则由题意知点P（x，y）的轨迹是以A，B为焦点，且长轴最短的椭圆．
设此椭圆的方程为

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，则方程组

x2 b2+4 + y2 b2 =1 y=x+2 3

有唯一解，
b2(y-2

3

)2+(b2+4)y2=b2(b2+4)，(2b2+4)y2-4

3

b2y-b2(b2-8)=0，
△=48b⁴+8b²（b²-8）（b²+2）=4b²（b⁴-16）=0，b²=4，a²=8，
所求椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅲ）由题意知C（1，1），
在（Ⅱ）中的环行公路上设一站点N，使站点N到C，B两地的距离之和最小，
即在

x2

8

+

y2

4

=1上求一点N，使|NC|+|NB|最小．
显然，当N为直线l_AC：x-3y+2=0与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1交点之一时，|NC|+|NB|最小，
由方程组

x2 8 + y2 4 =1 x-3y+2=0

，得（3y-2）²+2y²-8=11y²-12y-4=0，
解得

x= -4+12 5 11 y= 6+4 5 11

或

x= -4-12 5 11 y= 6-4 5 11

，
当N(

-4+12 5

11

，

6+4 5

11

)时，(|NC|+|NB|)min=2a-|AC|=16-

10

，

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的最值问题、椭圆在实际中的应用，考查学生分析解决实际问题的能力．