Question

设当x≤1时，函数y=4^x-2^x+1+2的值域为D，且当x∈D时，恒有f（x）=x²+kx+5≤4x，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：根据题意，函数y=4^x-2^x+1+2以2x为单位，通过讨论二次函数的方法得出其值域D为[1，2]，从而f（x）=x²+kx+5≤4x在区间[1，2]上恒成立．接下来有两种思路解决本题：
①将不等式移项得x²（k-4）x+5≤0当x∈[1，2]时恒成立，利用二次函数的最大值小于0列式，从而求出实数k的取值范围．②参数分离，变为k≤-(x+

5

x

)+4当x∈[1，2]时恒成立，从而k小于或等于右边的最小值，求出实数k的取值范围．

解答：解：令t=2^x，由于x≤1，则t∈（0，2]
则原函数y=t²-2t+2=（t-1）²+1∈[1，2]，即D=[1，2]
由题意：f（x）=x²+kx+5≤4x，
法一：则x²（k-4）x+5≤0当x∈D时恒成立
∴

1+(k-4)+5≤0 22+(k-4)2+5≤0

∴

k≤-2 k≤- 1 2

∴k≤-2
法二：则k≤-(x+

5

x

)+4在x∈D时恒成立，故k≤[-(x+

5

x

)+4]min=-2

点评：本题考查了指数型复合函数的性质及应用、函数恒成立以及二次函数性质等等知识点，属于中档题．解题时请注意转化化归思路与变量分离等常用数学手段的运用．