题目内容

数列 $数学公式$ 的前n项和．
（1）求证：数列 $数学公式$ 是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）如果{b_n}对任意 $数学公式$ 恒成立，求实数k的取值范围．

（1）证明：对任意n∈N^*，都有 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ …（1分）
则数列 $\text{[math]}$ 成等比数列，首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ …（2分）
所以 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ …（4分）
（2）解：因为 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ …（6分）
因为不等式 $\text{[math]}$ ，化简得 $\text{[math]}$ 对任意n∈N^*恒成立…（7分）
设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ …（9分）
当n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}为单调递减数列，当1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴c₄＜c₅，∴n=5时，c_n取得最大值 $\text{[math]}$ …（11分）
所以，要使 $\text{[math]}$ 对任意n∈N^*恒成立， $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）对数列递推式进行变形，即可证明数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，从而可求其通项，进而可求{b_n}的通项公式；
（2）先求出数列的和，再利用分离参数法，证明数列的单调性，即可求得实数k的取值范围．
点评：本题考查数列的递推式，考查构造法证明等比数列，考查恒成立问题，解题的关键是分离常数，确定数列的最值．