题目内容
一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字,现随机投掷两次,正四面体面朝下的数字分别为x1,x2,记ξ=(x1-3)2+(x2-3)2.(1)分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率;
(2)求ξ的分布列及数学期望.
分析:(1)由题意知掷出点数x可能是:1,2,3,4.得到要用的代数式的值,得到ξ的所有取值为:0,1,2,4,5,8.理解变量取不同值时对应的事件,做出概率.
(2)由(Ⅰ)知ξ的所有取值为:0,1,2,4,5,8,理解变量取不同值时对应的事件,做出概率,写出变量的分布列,求出期望,本题变量取值较多,解题时要注意运算,避免出错.
(2)由(Ⅰ)知ξ的所有取值为:0,1,2,4,5,8,理解变量取不同值时对应的事件,做出概率,写出变量的分布列,求出期望,本题变量取值较多,解题时要注意运算,避免出错.
解答:解:(1)掷出点数x可能是:1,2,3,4.
则x-3分别得:-2,-1,0,1.
于是(x-3)2的所有取值分别为:0,1,4.
因此ξ的所有取值为:0,1,2,4,5,8.
当x1=1且x2=1时,ξ=(x1-3)2+(x2-3)2可取得最大值8,
此时,P(ξ=8)=
×
=
;
当x1=3且x2=3时,ξ=(x1-3)2+(x2-3)2可取得最小值0.
此时,P(ξ=0)=
×
=
.
P(ξ=0)=P(ξ=8)=
;
(2)由(Ⅰ)知ξ的所有取值为:0,1,2,4,5,8.
当ξ=1时,(x1,x2)的所有取值为(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4).
即P(ξ=1)=
;
当ξ=2时,(x1,x2)的所有取值为(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4).
即P(ξ=2)=
;
当ξ=4时,(x1,x2)的所有取值为(1,3)、(3,1).
即P(ξ=4)=
;
当ξ=5时,(x1,x2)的所有取值为(2,1)、(1,4)、(1,2)、(4,1).
即P(ξ=5)=
.
P(ξ=8)=
∴ξ的分布列为:
所以Eξ=1×
+2×
+4×
+5×
+8×
=3
则x-3分别得:-2,-1,0,1.
于是(x-3)2的所有取值分别为:0,1,4.
因此ξ的所有取值为:0,1,2,4,5,8.
当x1=1且x2=1时,ξ=(x1-3)2+(x2-3)2可取得最大值8,
此时,P(ξ=8)=
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
16 |
当x1=3且x2=3时,ξ=(x1-3)2+(x2-3)2可取得最小值0.
此时,P(ξ=0)=
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
16 |
P(ξ=0)=P(ξ=8)=
1 |
16 |
(2)由(Ⅰ)知ξ的所有取值为:0,1,2,4,5,8.
当ξ=1时,(x1,x2)的所有取值为(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4).
即P(ξ=1)=
4 |
16 |
当ξ=2时,(x1,x2)的所有取值为(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4).
即P(ξ=2)=
4 |
16 |
当ξ=4时,(x1,x2)的所有取值为(1,3)、(3,1).
即P(ξ=4)=
2 |
16 |
当ξ=5时,(x1,x2)的所有取值为(2,1)、(1,4)、(1,2)、(4,1).
即P(ξ=5)=
4 |
16 |
P(ξ=8)=
1 |
16 |
∴ξ的分布列为:
所以Eξ=1×
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
8 |
1 |
4 |
1 |
16 |
点评:概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义,加强与实际生活的联系,以科学的态度评价身边的一些随机现象.适当地增加学生合作学习交流的机会,尽量地让学生自己举出生活和学习中与统计有关的实例.
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