Question

是否存在常数a，b，c使得等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=（an²+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即1•2²+2•3²++k（k+1）²=（3k²+11k+10），再递推到n=k+1时，成立即可．
解答：证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，
在等式1•2²+2•3²++n（n+1）²
=（an²+bn+c）中，
令n=1，得4=（a+b+c）①
令n=2，得22=（4a+2b+c）②
令n=3，得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3，b=11，c=10，
于是，对于n=1，2，3都有
1•2²+2•3²++n（n+1）²=（3n²+11n+10）（*）成立．
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即1•2²+2•3²++k（k+1）²
=（3k²+11k+10），
那么当n=k+1时，
1•2²+2•3²++k（k+1）²+（k+1）（k+2）²
=（3k²+11k+10）+（k+1）（k+2）²
=（3k²+5k+12k+24）
=[3（k+1）²+11（k+1）+10]，
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．
点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．