题目内容
设椭圆x2 |
m+1 |
(1)设E是直线y=x+2与椭圆的一个公共点,求使得|EF1|+|EF2|取最小值时椭圆的方程;
(2)已知N(0,-1)设斜率为k(k≠0)的直线l与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A,B,点Q满足
AQ |
QB |
NQ |
AB |
分析:(1)由题意知m>0.由
,得(m+2)x2+4(m+1)x+3(m+1)=0.由△≥0,得m≥2,或m≤-1(舍去).此时|EF1|+|EF2|=2
≥2
.由此能求出椭圆方程.
(2)设直线l的方程为y=kx+t.由方程组
,得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0.由△>0,知t2<1+3k2,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-
.由
=
,得Q为线段AB的中点,由此能求出截距t的取值范围.
|
m+1 |
3 |
(2)设直线l的方程为y=kx+t.由方程组
|
6kt |
1+3k2 |
AQ |
QB |
解答:解:(1)由题意,知m+1>1,即m>0.
由
得(m+2)x2+4(m+1)x+3(m+1)=0.
由△=16(m+1)2-12(m+2)(m+1)=4(m+1)(m-2)≥0,
解得m≥2,或m≤-1(舍去)∴m≥2(3分)
此时|EF1|+|EF2|=2
≥2
.
当且仅当m=2时,|EF1|+|EF2|.取得最小值2
,
此时椭圆方程为
+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+t.
由方程组
,
消去y得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0.∵直线l与椭圆交于不同两点A、B∴△=(6kt)2-4(1+3k2)(3t2-3)>0,
即t2<1+3k2①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-
.
由
=
,得Q为线段AB的中点,
则xQ=
=-
,yQ=kxQ+t=
.∵
•
=0,
∴kAB•kQN=-1,[来源:学,科,即
•k=-1.
化简得1+3k2=2t.代入①得t2<2t,解得0<t<2.
又由2t=1+3k2>1,得t>
.
所以,直线l在y轴上的截距t的取值范围是(
,2).
由
|
得(m+2)x2+4(m+1)x+3(m+1)=0.
由△=16(m+1)2-12(m+2)(m+1)=4(m+1)(m-2)≥0,
解得m≥2,或m≤-1(舍去)∴m≥2(3分)
此时|EF1|+|EF2|=2
m+1 |
3 |
当且仅当m=2时,|EF1|+|EF2|.取得最小值2
3 |
此时椭圆方程为
x2 |
3 |
(2)设直线l的方程为y=kx+t.
由方程组
|
消去y得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0.∵直线l与椭圆交于不同两点A、B∴△=(6kt)2-4(1+3k2)(3t2-3)>0,
即t2<1+3k2①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-
6kt |
1+3k2 |
由
AQ |
QB |
则xQ=
x1+x2 |
2 |
3kt |
1+3k2 |
t |
1+3k2 |
NQ |
AB |
∴kAB•kQN=-1,[来源:学,科,即
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化简得1+3k2=2t.代入①得t2<2t,解得0<t<2.
又由2t=1+3k2>1,得t>
1 |
2 |
所以,直线l在y轴上的截距t的取值范围是(
1 |
2 |
点评:本题考查椭圆方程的求法和截距t的取值范围.解题时要认真审题,利用椭圆性质注意合理地进行等价转化.

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