Question

设函数f(x)=

1

x+1

，点A₀表示坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），若向量

an

=

A0A1

+

A1A2

+…+

An-1An

，θ_n是

an

与

i

的夹角，（其中

i

=(1，0)），设S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n，则

lim

n→∞

Sn=

 

．

Answer 1

分析：设函数f(x)=

1

x+1

，点A₀表示坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），则能推导出S_n=

1

1•2

+

1

2•3

++

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

，由此能导出

lim

n→∞

Sn．

解答：解：设函数f(x)=

1

x+1

，点A₀表示坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），
若向量

an

=

A0A1

+

A1A2

+…+

An-1An

=

A0An

，
θ_n是

an

与

i

的夹角，
tanθn=

1 n+1

n

=

1

n(n+1)

（其中

i

=(1，0)），
设S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

，
则

lim

n→∞

Sn=1．

点评：本题考查数列的极限和运算，解题时要注意三角函数的灵活运用．