Question

设有关于x 的一元二次方程x²+2ax+b²=0
（1）若a是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，b是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；
（2）若a是从区间[0，4]中任取的一个实数，b是从区间[0，3]中任取的一个实数，求上述方程有实数根的概率．

Answer 1

分析：（1）本题是一个古典概型，由分步计数原理知基本事件共20个，当a＞0，b＞0时，方程x²+2ax+b²=0有实根的充要条件为a≥b，满足条件的事件中包含14个基本事件，由古典概型公式得到结果．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3}．构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，a≥b}．根据几何概型公式得到结果．

解答：解：设事件A为“方程a²+2ax+b²=0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x²+2ax+b²=0有实根的充要条件为a≥b．
（Ⅰ）a是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，b是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，基本事件共5×4=20个．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含14个基本事件；
故所求事件的概率为P=

14

20

=

7

10

；
（2）若a是从区间[0，4]中任取的一个实数，b是从区间[0，3]中任取的一个实数，则Ω的面积12，其中Ω中满足|a|≥|b|的区域面积为12-

9

2

=

15

2

，故所求事件的概率为P=

15 2

12

=

5

8

．

点评：本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，几何概型和古典概型是高中必修中学习的高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题．