Question

若函数f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．{a|a＞1}

B．{a|a≥2}

C．{a|0＜a＜1}

D．{a|1＜a＜2}

Answer 1

分析：由题意可得函数y=a^x（a＞0，且a≠1）与函数y=x+a的图象有两个交点，当0＜a＜1时两函数只有一个交点，不符合条件； 当a＞1时，因为函数y=a^x（a＞1）的图象过点（0，1），
而直线y=x+a所过的点（0，a）一定在点（0，1）的上方，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：设函数y=a^x（a＞0，且a≠1）和函数y=x+a，则函数f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点，
就是函数y=a^x（a＞0，且a≠1）与函数y=x+a的图象有两个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，不符合条件．
当a＞1时，因为函数y=a^x（a＞1）的图象过点（0，1），而直线y=x+a所过的点（0，a），此点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点．
所以实数a的取值范围是{a|a＞1}．
故选A．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．