Question

(湖北省八校高第二次联考) 已知A,B是抛物线上的两个动点，为坐标原点，非零向量满足．

（Ⅰ）求证：直线经过一定点；

（Ⅱ）当的中点到直线的距离的最小值为时，求的值．

Answer 1

,p=2

解析:

（1）证明  , .设A,B两点的坐标为（），（）

则 .

经过A，B两点的直线方程为

由，得

 . 令，得, .   

从而. (否则, 有一个为零向量),

.  代入①，得  ，始终经过定点. 

（2）解  设AB中点的坐标为()，

则 .

又,  ，

即      ①

AB的中点到直线的距离.

将①代入，得.

因为d的最小值为.