Question

如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，又DC⊥面ABC，四边形ACDE为梯形，DE∥AC，且AC=2DE，DC=2，二面角B-DE-C的大小为θ，tanθ=

3

4

（1）证明：面ABE⊥面ACDE；
（2）求四棱锥B-ACDE的体积．

Answer 1

分析：（1）由题意易得BA⊥DC，又AC∩DC=C，可判BA⊥面ACDE，再由面面垂直的判断定理可得结论；
（2）延长DE到F，使DF=AC，连接AF，BF，可证DF⊥AF，又可证BF⊥DF，可得∠AFB=θ，在RT△BAF中，由tanθ=

BA

AF

=

BA

2

=

3

4

，可得BA=

3

2

，进而由勾股定理可得CA的长度，可得底面梯形的面积，而四棱锥B-ACDE的高为BA，代入体积公式可得答案．

解答：解：（1）∵BC是直径，∴BC⊥CA，又DC⊥面ABC，所以BA⊥DC，
又AC∩DC=C，AC，DC?面ACDE，∴BA⊥面ACDE，
又BA?面ABE，所以面ABE⊥面ACDE；
（2）延长DE到F，使DF=AC，连接AF，BF，
∵DC⊥AC，∴四边形ACDF为矩形，∴DF⊥AF，
由（1）BA⊥DF，AF∩BA=A，∴DF⊥面BAF，∴BF⊥DF，
∴∠AFB为二面角B-DE-C的平面角，即∠AFB=θ，
在RT△BAF中，tanθ=

BA

AF

=

BA

CD

=

BA

2

=

3

4

，∴BA=

3

2

，
∴CA=

BC2-BA2

=

22-( 3 2 )2

=

7

2

，
由梯形的面积公式可得S_ACDE=

1

2

(

7

2

+

7

4

)×2=

3 7

4

，
由（1）知四棱锥B-ACDE的高为BA，
∴V_B-ACDE=

1

3

×

3 7

4

×

3

2

=

3 7

8

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，涉及几何体体积的求解，属中档题．