题目内容
已知,直线l:y=kx+2k与曲线C:有两个不同的交点,设直线l与曲线C围成的封闭区域为P,在区域M内随机取一点A,点A落在区域P内的概率为p,若,则实数k的取值范围为( )A.
B.[0,1]
C.
D.
【答案】分析:集合M为圆心为原点,2为半径且在x轴上方的半圆,将直线l的方程变形后,发现直线恒过定点(-2,0),根据题意画出相应的图形,结合概率范围可知直线与圆的关系,直线以(-2,0)点为中心顺时针旋转至与x轴重合,从而确定直线的斜率范围.
解答:解:画出图形,如图所示:
直线y=kx+2k变形得:y-0=k(x+2),
∴直线恒过定点(-2,0),
又集合M为以原点为圆心,2为半径且在x轴上边的半圆,
当直线l过(-2,0),(0,2)时,
它们围成的平面区域为M,向区域P上随机投一点A,
点A落在区域M内的概率为P(M),
∵圆的半径为2,∴半圆面积为2π,
∴S扇形AOB=π,S△AOB=OA•OB=×2×2=2,
∴平面区域M的面积S=S扇形AOB-S△AOB=π-2,
∴P(M)=,
此时直线l的斜率为=1;
当直线与x轴重合时,P(M)=1,此时直线l的斜率为0,
综上,直线l的斜率范围是[0,1].
故选B
点评:此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:恒过定点的直线方程,概率的求法,以及直线斜率的求法,利用了数形结合的思想,根据题意画出相应的图形是本题的突破点.
解答:解:画出图形,如图所示:
直线y=kx+2k变形得:y-0=k(x+2),
∴直线恒过定点(-2,0),
又集合M为以原点为圆心,2为半径且在x轴上边的半圆,
当直线l过(-2,0),(0,2)时,
它们围成的平面区域为M,向区域P上随机投一点A,
点A落在区域M内的概率为P(M),
∵圆的半径为2,∴半圆面积为2π,
∴S扇形AOB=π,S△AOB=OA•OB=×2×2=2,
∴平面区域M的面积S=S扇形AOB-S△AOB=π-2,
∴P(M)=,
此时直线l的斜率为=1;
当直线与x轴重合时,P(M)=1,此时直线l的斜率为0,
综上,直线l的斜率范围是[0,1].
故选B
点评:此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:恒过定点的直线方程,概率的求法,以及直线斜率的求法,利用了数形结合的思想,根据题意画出相应的图形是本题的突破点.
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