Question

已知复数Z=iC_n¹+i²C_n²+…+iⁿC_nⁿ（其中i为虚数单位），以下判断中正确的为（　　）

A．不存在n∈N^*，使Z为纯虚数

B．对任意的n∈N^*，Z为实数

C．存在无限个n∈N^*，使Z为实数

D．不存在n∈N^*，使Z为实数

Answer 1

分析：利用二项式定理得到Z=iC_n¹+i²C_n²+…+iⁿC_nⁿ=（1+i）ⁿ-1，因为当n=4k（k∈Z）时，（1+i）ⁿ-1=（1+i）^4k-1得到存在无限个n∈N^*，使Z为实数．

解答：解：Z=iC_n¹+i²C_n²+…+iⁿC_nⁿ=（1+i）ⁿ-1，
因为当n=4k（k∈Z）时，（1+i）ⁿ-1=（1+i）^4k-1=（-4）^k-1∈R
所以当n=4k（k∈Z）时，复数Z=iC_n¹+i²C_n²+…+iⁿC_nⁿ（其中i为虚数单位）为实数，
故选C．

点评：本题考查二项式定理的展开式的灵活应用，在高考中常出现在小题中，属于基础题．