题目内容
设在平面上有两个向量
=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），
=（-
，
）．
（1）求证：向量
+
与
-
垂直；
（2）当向量
+
与
-
的模相等时，求α的大小．
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（1）求证：向量
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）当向量
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
分析：（1）由已知计算数量积为0，可判
+
与
-
垂直；（2）由|
+
|=|
-
|，两边平方化简可得
•
=0，代入数据可得（-
）×cos α+
×sin α=0，即cos（α+60°）=0，由α的范围可得．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
解答：解：（1）∵（
+
）•（
-
）=|
|2-|
|2
=（cos2α+sin2α）-（
+
）=0，
∴
+
与
-
垂直．
（2）∵|
+
|=|
-
|，
∴两边平方得3|
|2+2
•
+|
|2=|
|2-2
•
+3|
|2，
∴2（|
|2-|
|2）+4
•
=0．
又∵|
|=
=1，|
|=
=1，
∴|
|=|
|，∴
•
=0，
代入数据可得（-
）×cos α+
×sin α=0，即cos（α+60°）=0，
∴α+60°=k•180°+90°，即α=k•180°+30°，k∈Z．
又0°≤α＜360°，
∴α=30°或α=210°．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
=（cos2α+sin2α）-（
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）∵|
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
∴两边平方得3|
| a |
| 3 |
| a |
| b |
| b |
| a |
| 3 |
| a |
| b |
| b |
∴2（|
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
又∵|
| a |
| cos2α+sin2α |
| b |
(-
|
∴|
| a |
| b |
| a |
| b |
代入数据可得（-
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴α+60°=k•180°+90°，即α=k•180°+30°，k∈Z．
又0°≤α＜360°，
∴α=30°或α=210°．
点评：本题考查向量垂直于数量积的关系，涉及向量的模长．
练习册系列答案
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，
；
，求角
的值.
，
)，
a+b与a-
b的模相等时，求α的大小．
，
)．
a＋b与a－