题目内容
设在平面上有两个向量
=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),
=(-
,
).
(1)求证:向量
+
与
-
垂直;
(2)当向量
+
与
-
的模相等时,求α的大小.
a |
b |
1 |
2 |
| ||
2 |
(1)求证:向量
a |
b |
a |
b |
(2)当向量
3 |
a |
b |
a |
3 |
b |
分析:(1)由已知计算数量积为0,可判
+
与
-
垂直;(2)由|
+
|=|
-
|,两边平方化简可得
•
=0,代入数据可得(-
)×cos α+
×sin α=0,即cos(α+60°)=0,由α的范围可得.
a |
b |
a |
b |
3 |
a |
b |
a |
3 |
b |
a |
b |
1 |
2 |
| ||
2 |
解答:解:(1)∵(
+
)•(
-
)=|
|2-|
|2
=(cos2α+sin2α)-(
+
)=0,
∴
+
与
-
垂直.
(2)∵|
+
|=|
-
|,
∴两边平方得3|
|2+2
•
+|
|2=|
|2-2
•
+3|
|2,
∴2(|
|2-|
|2)+4
•
=0.
又∵|
|=
=1,|
|=
=1,
∴|
|=|
|,∴
•
=0,
代入数据可得(-
)×cos α+
×sin α=0,即cos(α+60°)=0,
∴α+60°=k•180°+90°,即α=k•180°+30°,k∈Z.
又0°≤α<360°,
∴α=30°或α=210°.
a |
b |
a |
b |
a |
b |
=(cos2α+sin2α)-(
1 |
4 |
3 |
4 |
∴
a |
b |
a |
b |
(2)∵|
3 |
a |
b |
a |
3 |
b |
∴两边平方得3|
a |
3 |
a |
b |
b |
a |
3 |
a |
b |
b |
∴2(|
a |
b |
3 |
a |
b |
又∵|
a |
cos2α+sin2α |
b |
(-
|
∴|
a |
b |
a |
b |
代入数据可得(-
1 |
2 |
| ||
2 |
∴α+60°=k•180°+90°,即α=k•180°+30°,k∈Z.
又0°≤α<360°,
∴α=30°或α=210°.
点评:本题考查向量垂直于数量积的关系,涉及向量的模长.

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