题目内容

设在平面上有两个向量
a
=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),
b
=(-
1
2
3
2
).
(1)求证:向量
a
+
b
a
-
b
垂直;
(2)当向量
3
a
+
b
a
-
3
b
的模相等时,求α的大小.
分析:(1)由已知计算数量积为0,可判
a
+
b
a
-
b
垂直;(2)由|
3
a
+
b
|=|
a
-
3
b
|,两边平方化简可得
a
b
=0,代入数据可得(-
1
2
)×cos α+
3
2
×sin α=0,即cos(α+60°)=0,由α的范围可得.
解答:解:(1)∵(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=|
a
|2-|
b
|2
=(cos2α+sin2α)-(
1
4
+
3
4
)=0,
a
+
b
a
-
b
垂直.
(2)∵|
3
a
+
b
|=|
a
-
3
b
|,
∴两边平方得3|
a
|2+2
3
a
b
+|
b
|2=|
a
|2-2
3
a
b
+3|
b
|2
∴2(|
a
|2-|
b
|2)+4
3
a
b
=0.
又∵|
a
|=
cos2α+sin2α
=1,|
b
|=
(-
1
2
)2+(
3
2
)2
=1,
∴|
a
|=|
b
|,∴
a
b
=0,
代入数据可得(-
1
2
)×cos α+
3
2
×sin α=0,即cos(α+60°)=0,
α+60°=k•180°+90°,即α=k•180°+30°,kZ
又0°≤α<360°,
α=30°或α=210°.
点评:本题考查向量垂直于数量积的关系,涉及向量的模长.
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