Question

已知点F椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点，点M在椭圆E上，以M为圆心的圆与x轴切于点F，与y轴交于A、B两点，且△ABM是边长为2的正三角形；又椭圆E上的P、Q两点关于直线l：y=x+n对称．
（I）求椭圆E的方程；
（II）当直线l过点（0，

1

5

）时，求直线PQ的方程；
（III）若点C是直线l上一点，且∠PCQ=

2π

3

，求△PCQ面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）先利用△ABM是边长为2的正三角形求出c，再利用点M在椭圆E上即可求椭圆E的方程；
（II）把直线PQ的方程与椭圆方程联立求出P、Q两点的坐标之间的关系，再利用P、Q两点关于直线l：y=x+n对称．即可求直线PQ的方程；
（III）把△PCQ面积用|PQ|表示出来，再利用弦长公式求出|PQ|即可求△PCQ面积的最大值．

解答：解：（I）由题意可知：
M （c，2）且c为正三角形的高，所以c=

3

将点M坐标代入椭圆方程可得：

3

a2

+

4

b2

=1与a²=b²+3联立可得：a²=9，b²=6，所以椭圆方程为：

x2

9

+

y2

6

=1
（II）设PQ：y=-x+m代入椭圆方程2x²+3y²=18整理得5x²-6mx+3m²-18=0
△=36m²-4•5•（3m²-18）＞0，则-

15

＜m＜

15

令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），故x1+x2=

6m

5

，x1•x2=

3m2-18

5

y1+y2 =-(x1+x2)+2m=

4m

5

，则P、Q的中点为(

3m

5

，

2m

5

)
由于l方程为y=x+

1

5

，故

2m

5

=

3m

3

+

1

5

，得m=-1
则直线PQ的方程为y=-x-1
（III）S△PCQ=

|PQ|

2

•

|PQ|

2 3

=

1

4 3

[(x1+x2)2-4x1x2][1+（-1）²]

=

1

2 3

[(

6m

5

)2 -4

3m2-18

5

]=

-12m2+180

25 3

则当m=0时，S_△POQ的最大值为

12 3

5

点评：本题是圆锥曲线的综合大题，主要考查解析几何的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力．