题目内容
已知在△ABC中，C=2B，A≠B，求证：C2=b（a+b ）．
分析：先利用正弦定理把边转化成角正弦，代入C2-b（a+b ）利用和差化积和积化和差公式对其进行化简整理，利用C=2B判断出sin（C-B）-sinB=0证明C2=b（a+b ）．
解答：解：由正弦定理可知c=sinC2R，b=2RsinB，c=2RsinC
∴C2-b（a+b ）=4R2（sin2C-sinBsinA-sin2B）
=4R2[（sinC+sinB）（sinC-sinB）-sinBsinA]
=4R2[sin（B+C）sin（C-B）-sinBsinA]
=4R2sinA[sin（C-B）-sinB]
∵C=2B
∴sin（C-B）=sinB
∴4R2sinA[sin（C-B）-sinB]=0
∴C2-b（a+b ）=0，C2=b（a+b ）．
原式得证．
∴C2-b（a+b ）=4R2（sin2C-sinBsinA-sin2B）
=4R2[（sinC+sinB）（sinC-sinB）-sinBsinA]
=4R2[sin（B+C）sin（C-B）-sinBsinA]
=4R2sinA[sin（C-B）-sinB]
∵C=2B
∴sin（C-B）=sinB
∴4R2sinA[sin（C-B）-sinB]=0
∴C2-b（a+b ）=0，C2=b（a+b ）．
原式得证．
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．考查了用正弦定理来对三角形问题中边角互化方法的应用．
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