Question

某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9．所有考核是否合格相互之间没有影响．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）．

Answer 1

分析：（1）理论考核中至少有两人合格包含甲和乙合格丙不合格，甲和丙合格乙不合格，丙和乙合格甲不合格，三种情况，且这三种情况是互斥的，三个人是否合格是相互独立的，根据概率公式得到结果．
（2）这三人该课程考核都合格表示三个人的理论与实验两部分都合格，对于每个人的理论与实验两部分是否合格是相互独立的，三个人都合格也是相互独立的，根据相互独立事件的概率公式得到结果．

解答：解：记“甲理论考核合格”为事件A₁；
“乙理论考核合格”为事件A₂；“丙理论考核合格”为事件A₃；
记

.

Ai

为A_i的对立事件，i=1，2，3；记“甲实验考核合格”为事件B₁；
“乙实验考核合格”为事件B₂；“丙实验考核合格”为事件B₃；
（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，
P(C)=P(A1A2

.

A3

+A1

.

A2

A3+

.

A1

A2A3+A1A2A3)
=P(A1A2

.

A3

)+P(A1

.

A2

A3)+P(

.

A1

A2A3)+P(A1A2A3)
=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7
=0.902
∴理论考核中至少有两人合格的概率为0.902
（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格”为事件D
P（D）=P[（A₁•B₁）•（A₂•B₂）•（A₃•B₃）]
=P（A₁•B₁）•P（A₂•B₂）•P（A₃•B₃）
=P（A₁）•P（B₁）•P（A₂）•P（B₂）•P（A₃）•P（B₃）
=0.9×0.8×0.8×0.8×0.7×0.9
=0.254016
≈0.254
∴这三人该课程考核都合格的概率为0.254

点评：本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查应用概率知识解决实际问题的能力，是一个基础题．