Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，n为正整数，对任意的n≥2都有a_n+2a_na_n-1-a_n-1=0成立．
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列；并求{a_n}的通项公式；
（2）判断a₃•a₆是否为数列{a_n}中的项，如果是，是第几项？如果不是，说明理由；
（3）设c_n=a_n•a_n+1（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用定义法和递推关系式求数列的通项公式．
（2）验证数列的项．用代入法求解．
（3）利用裂项相消法求数列的和．

解答： （1）证明：已知数列{a_n}满足：对任意的n≥2都有a_n+2a_na_n-1-a_n-1=0成立，
则：

1

an

-

1

an-1

=2（常数）
所以：数列{

1

an

}为等差数列．

1

an

=

1

a1

+2(n-1)
由于a₁=1，
所以：an=

1

2n-1

当n=1时，a₁=1，
所以：an=

1

2n-1

（2）解：根据（1）求得：a₃a₆=

1

55

令

1

2n-1

=

1

55

解得：n=28
所以：a₃a₆是数列a_n中的第28项．
（3）解：由（1）得：cn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)1
所以：数列{c_n}的前n项和：
S_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，验证数列的项，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题型．