Question

如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．
（1）求异面直线BC与AC₁的夹角；      
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析：（1）根据异面直线所成角的定义进行求解．（2）利用线面平行的判定定理判断．

解答：解：（1）连结AB₁，由已知可得CB∥C₁B₁，CB=C₁B₁
∴CB与AC₁的夹角等于AC₁与C₁B₁的夹角…2
设直三棱柱高为x，由已知可得AC1=

x2+9

，C₁B₁=4，
AB1=

x2+25

，…5
显然有AB12=C1B12+AC12．
∴AC₁⊥C₁B₁，即CB与与AC₁的夹角为90°…7
（2）连结C₁B交CB₁于E，再连结DE，
由已知可得E为C₁B的中点，…9
又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC₁的中位线．
∴AC₁∥DE…12
又∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁
∴AC₁∥平面CDB₁…14

点评：本题主要考查空间异面直线所成角的确定和求法，以及空间直线和平面平行的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．