题目内容

已知0＜x＜1，则函数y=
1
x
+
4
1-x
的最小值是
 
．
分析：由题意可得y=
1
x
+
4
1-x
=（
1
x
+
4
1-x
）（x+1-x）=1+4+
1-x
x
+
4x
1-x
，然后利用基本不等式可求函数的最小值．
解答：解：∵0＜x＜1，
∴0＜1-x＜1
则y=
1
x
+
4
1-x
=（
1
x
+
4
1-x
）（x+1-x）=1+4+
1-x
x
+
4x
1-x
≥5+2
1-x
x
•
4x
1-x
=5+2
4
=5+4=9，

当且仅当
1-x
x
=
4x
1-x
，即1-x=2x，解得x=
1
3
时取等号．
∴函数y=
1
x
+
4
1-x
的最小值是9．
故答案为：9
点评：本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，解题的关键是灵活利用x+（1-x）=1的条件，注意基本不等式成立的条件．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=loga[(
1
a
-2)x+1]在区间上[1，3]的函数值大于0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A、(
1
2
，1)
B、(
1
2
，
3
5
)
C、（1，+∞）
D、(0，
3
5
)
已知函数f(x)=x2+
2
x
+alnx(x＞0)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．
已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=
f(x)
x
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=
f(x)
x2
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．
（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围；
（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，
x a b c a+b+c
f（x） d d t 4
求证：d（2d+t-4）＞0；
（Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．
（2013•虹口区二模）已知函数f(x)=
x2+(a-1)x-2a+22x2+ax-2a
的定义域是使得解析式有意义的x的集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是
-7＜a≤0或a=2
-7＜a≤0或a=2
．

定义在D上的函数f(x)，如果满足；对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·2x＋44，

(1)当a＝1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由；

(2)若函数f(x)在(－∞，0]上是以3为上界函数值，求实数a的取值范围；

(3)若m＞0，求函数g(x)在[0，1]上的上界T的取值范围．

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