Question

如图，已知圆O内接四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4
求（1）四边形ABCD的面积；
（2）圆O的半径R．

Answer 1

分析：（1）连接AC，在△ABC、△ACD中分别用由余弦定理求AC²，两式右边相等消去AC²，式子两角是互补的，得出角的正弦值，利用三角形面积公式可求出两个三角形的面积，加起来是要求的四边形的面积．
（2）由（1）可求出sin∠ADC和AC，利用正弦定理得直径，除以2得半径．

解答：解：（1）连接AC，在△ABC中由余弦定理，得
AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=1²+2²-2×1×2cos∠ABC=5-4cos∠ABC（3分）
在△ACD中由余弦定理，得AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC=4²+3²-2×4×3cos∠ADC=25-24cos∠ADC（6分）
从而得5-4cos∠ABC=25-24cos∠ADC，
又∠ADC=π-∠ABC，故cos∠ADC=

5

7

，（9分）
sin∠ADC=

2 6

7

所以AC2=25-24×

5

7

=

55

7

．（10分）
所以S四边形ABCD=

1

2

(1×2+3×4)sin∠ADC=

14

2

×

2 6

7

=2

6

（12分）
（2）由2R=

AC

sin∠ADC

=

55 7

×

7

2 6

，解得R=

2310

24

（16分）

点评：本题两次用到余弦定理，衔接点有两处，一是有一条公共边，二是式子中两个角互补，圆内接四边形的对角补，要从图中读出，这点很重要；
正弦定理记忆的时候要全面，它的比值是三角形外接圆的直径，知道这一点，问题迎刃而解．