题目内容
点P在曲线C:
A.曲线C上的所有点都是“H点”
B.曲线C上仅有有限个点是“H点”
C.曲线C上的所有点都不是“H点”
D.曲线C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“H点”
【答案】分析:设出-2≤xP<xA≤2,利用相似三角形求得xP和xA的关系,设出PA的方程与椭圆方程联立求得xAxP的表达式,利用判别式大于0求得k和m的不等式关系,最后联立①②③求得xA的范围,进而通过xA<1时,xP=2xA-4<-2,故此时不存在H点,进而求得H点的横坐标取值范围,判断出题设的选项.
解答:解:由题意,P、A的位置关系对称,于是不妨设-2≤xP<xA≤2,(此时PA=AB).
由相似三角形,2|4-xA|=|4-xP|
即:xP=2xA-4…①
设PA:y=kx+m,与椭圆联立方程组,
解得
xAxP=
…②
∵△>0
4k2>m2-1…③
联立①②③,得xA2-2xA<
而0<
<2
即xA2-2xA<2
即1-
≤xA≤2
而当xA<1时,xP=2xA-4<-2,故此时不存在H点
又因为P的位置可以和A互换(互换后即PA=PB),
所以H点的横坐标取值为[-2,0]U[1,2]
故选D
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题.解题的关键是求得H点的横坐标取值范围.
解答:解:由题意,P、A的位置关系对称,于是不妨设-2≤xP<xA≤2,(此时PA=AB).
由相似三角形,2|4-xA|=|4-xP|
即:xP=2xA-4…①
设PA:y=kx+m,与椭圆联立方程组,
解得
xAxP=

∵△>0
4k2>m2-1…③
联立①②③,得xA2-2xA<

而0<

即xA2-2xA<2
即1-

而当xA<1时,xP=2xA-4<-2,故此时不存在H点
又因为P的位置可以和A互换(互换后即PA=PB),
所以H点的横坐标取值为[-2,0]U[1,2]
故选D
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题.解题的关键是求得H点的横坐标取值范围.

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