Question

我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题．
（1）设F₁、F₂是椭圆M：

x2

25

+

y2

9

=1的两个焦点，点F₁、F₂到直线L：

2

x-y+

5

=0的距离分别为d₁、d₂，试求d₁•d₂的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系．
（2）设F₁、F₂是椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，点F₁、F₂到直线L：mx+ny+p=0（m、n不同时为0）的距离分别为d₁、d₂，且直线L与椭圆M相切，试求d₁•d₂的值．
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明．
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）．

Answer 1

分析：（1）利用点到直线的距离公式分别计算d₁、d₂，代入d₁•d₂化简，可以求出d₁•d₂的值，再通过直线L与椭圆方程消去y得到关于x的方程，可以求出根的差别式大于零，得到直线L与椭圆M有两个交点，是相交的位置关系；
（2）将直线方程与椭圆方程消去y，得到关于x的方程．再利用根的判别式可得△=0，从而p²=a²m²+b²n²，将其代入d₁•d₂的表达式化简可得d₁•d₂=b²；
（3）根据（2）运算得启发：直线L与椭圆M相交的充要条件为：d₁d₂＜b²；直线L与椭圆M相切的充要条件为：d₁d₂=b²；直线L与椭圆M相离的充要条件为：d₁d₂＞b²．然后选择其中之一，结合（2）中的运算过程与结论，可得证明方法；
（4）根据类比推理的一般规律，不难推出（3）中的结论在双曲线中的推广：直线L与双曲线相交的充要条件为：d₁d₂＜b²；直线L与双曲线M相切的充要条件为：
d₁d₂=b²；直线L与双曲线M相离的充要条件为：d₁d₂＞b²．

解答：解：（1）d1•d2=

|-4 2 + 5 |

3

•

|-4 2 - 5 |

3

=9； …（2分）
联立方程

x2 25 + y2 9 =1 2 x-y+ 5 =0

，消去y得关于x的方程：59x 2+50 

10

x-100=0； …（3分）
∴△=(50

10

) 2+4×59×100＞0，因此直线L与椭圆M相交．…（4分）
（2）联立方程组

x2 25 + y2 9 =1 mx+ny+p=0

，消去y可得（a²m²+b²n²）x²+2a²mpx+a²（p²-b²n²）=0…（*）…（6分）
∴△=（2a²mp）²-4a²（a²m²+b²n²）（p²-b²n²）=4a²b²n²（a²m²+b²n²-p²）=0
∴p²=a²m²+b²n²…（8分）
∵椭圆的焦点为：F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c²=a²-b²
∴d1•d2=

|-mc+p|

m2+n2

•

|mc+p|

m2+n2

=

|p2-m2c2|

m2 +n2

=

|a 2m2+b 2n 2- m2c2|

m2 +n2

=b2…（10分）

（3）设F₁、F₂是椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，
点F₁、F₂到直线L：mx+ny+p=0（m、n不同时为零）的距离分别为d₁、d₂，且F₁、F₂在直线L的同侧．
那么直线L与椭圆相交的充要条件为：d₁d₂＜b²；
直线L与椭圆M相切的充要条件为：d₁d₂=b²；
直线L与椭圆M相离的充要条件为：d₁d₂＞b²　…（14分）
证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交?（*）中△＞0?p²＜a²m²+b²n²
?d1•d2=

|-mc+p|

m2+n2

•

|mc+p|

m2+n2

=

|p2-m2c2|

m2 +n2

＜

|a 2m2+b 2n 2- m2c2|

m2 +n2

=b2
同理可证：直线L与椭圆M相离?d₁d₂＞b²；直线与椭圆相切?d₁d₂=b²…（16分）．命题得证．
（写出其他的充要条件仅得（2分），未指出“F₁、F₂在直线L的同侧”得3分）
（4）可以类比到双曲线：设F₁、F₂是双曲线M：

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，
点F₁、F₂到直线L：mx+ny+p=0（m、n不同时为零）距离分别为d₁、d₂，且F₁、F₂在直线L的同侧．
那么直线L与双曲线相交的充要条件为：d₁d₂＜b²；
直线L与双曲线M相切的充要条件为：d₁d₂=b²；
直线L与双曲线M相离的充要条件为：d₁d₂＞b²．…（20分）

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、类比推理以及圆锥曲线的综合应用等知识点，属于难题．本题对运算的要求相当高，解题中应注意设而不求和转化化归思想的运用．