Question

已知函数
（1）a＞1，解关于x的方程f（x）=3．
（2）记函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），若g（x）的最值与a无关，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）令=3，对x的范围分类进行讨论求解即可．求解本题宜分为两类，分别为x≥0时与x＜0时．
（2） 按a＞1，与0＜a＜1分两类对函数的最值进行讨论，求出最值，若最值与参数无关，则此时的a的范围即所求．
解答：解：（1）令=3
当x≥0时，方程变为a^2x-3a^x+2=0，解得a^x=1或a^x=2，可得=0或log_a2
 当x＜0时，方程变为1+2=3a^x，解得x=0故此类下无解．
  综上 x=0或log_a2（4分）；
（2）由题设，g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），下分类讨论：
①若a＞1，则
（ⅰ）当x≥0时，a^x≥1，g（x）=3a^x，∴g（x）∈[3，+∞）
（ⅱ）-2≤x＜0时，，g（x）=a^-x+2a^x
∴g'（x）=-a^-xlna+2a^xlna=
从而当即时，对?x∈（-2，0），g'（x）＞0，
∴g（x）在[-2，0）上递增
∴g（x）∈，由此g（x）有最小值与a有关，不符合．
当即时，由g'（x）=0得
则时，g'（x）＜0；时，g'（x）＞0
∴g（x）在上递减，在上递增，∴g（x）_min==
g（x）有最小值为与a无关，符合要求（6分）
②若0＜a＜1，则
（ⅰ）x≥0时，0＜a^x≤1，g（x）=3a^x，∴g（x）∈（0，3]
（ⅱ）-2≤x＜0时，，g（x）=a^-x+2a^x，
∴g'（x）=-a^-xlna+2a^xlna=＜0，∴g（x）在[-2，0）上递减，
∴g（x）∈，由此g（x）有最大值与a有关，不符合
综上：实数a的取值范围是（6分）．
点评：本题的考点是指数函数的综合题，考查解指数方程与指数函数下的恒成立问题求参数，在第二小题的求解中，由于参数a的取值范围不同，转化的结果不同，故采取了分类讨论的方式来探究本题，此题难度较大，是训练复杂逻辑推理的一道好题，很好地训练了分类讨论的思想与转化化归的思想．