Question

14、直角坐标平面内，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点．现有一系列顶点都为整点的等腰直角三角形△OA₁B₁，△OA₂B₂，△OA₃B₃，…，△OA_nB_n，…，其中点O是坐标原点，直角顶点A_n的坐标为（n，n）（n∈N^*，n≥3），点B_n在x轴正半轴上，则第n个等腰直角三角形△OA_nB_n内（不包括边界）整点的个数为

（n-1）²

．

Answer 1

分析：先列举后推理的办法解答，就是满足题意的整点：△OA₁B_1、△OA₂B₂、△OA₃B₃、△OA₄B₄、找出规律，求出△OAnBn内整点个数．

解答：解 的顶点分别是（0，0）（1，1）（2，0）
所以很明显内部没有整点
△OA₂B₂的顶点分别是（0，0）（2，2）（4，0）
所以很明显内部整点有（2，1）就一个
△OA₃B₃的顶点分别是（0，0）（3，3）（6，0）
所以很明显内部整点有（2，1）（3，1）（3，2）（4，2）共4个
△OA₄B₄的顶点分别是（0，0）（4，4）（8，0）
所以很明显内部整点有（2，1）（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）（4，3）（5，1）（5，2）（6，1）一共是9个
所以我们能总结出规律：整点横纵坐标之和一定小于8，并且纵坐标不能为0，也必须小于横坐标
而且很明显：△OA₁B₁内整点个数是0=（1-0）²
△OA₂B₂内整点个数是1=（2-1）²
△OA₃B₃内整点个数是4=（3-1）²
△OA₄B₄内整点个数是9=（4-1）²
所以△OAnBn内整点个数是（n-1）²
故答案为：（n-1）²

点评：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查逻辑思维能力，计算能力，是基础题．