Question

已知函数f(x)=px-

p

x

-2lnx，p∈R．
（ I）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（ II） 若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（ III）设函数g(x)=f(x)+

2p+2

x

，求函数g（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）当p=2时，函数f(x)=2x-

2

x

-2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0，f′(x)=2+

2

x2

-

2

x

，由此能求出曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（ II） f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．（x＞0）因为f（x）在定义域内是增函数，所以?x∈（0，+∞），f'（x）≥0，即px²-2x+p≥0恒成立．p≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

恒成立，由此能求出正实数p的取值范围．
（ III）由g(x)=px+

p+2

x

-2lnx（x＞0），知g′(x)=

px2-2x-2-p

x2

=

(px-2-p)(x+1)

x2

，由此进行分类讨论，能求出函数g（x）的单调区间．

解答：（本小题共14分）
解：（I）当p=2时，函数f(x)=2x-

2

x

-2lnx，
f（1）=2-2-2ln1=0，
f′(x)=2+

2

x2

-

2

x

，…（1分）
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．…（2分）
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），
即y=2x-2．…（3分）
（ II） f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．（x＞0）…（4分）
因为f（x）在定义域内是增函数，
所以?x∈（0，+∞），
f'（x）≥0，即px²-2x+p≥0恒成立．…（5分）
g′(x)=

-2(x+1)

x2

＜0
即p≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

恒成立．…（6分）
而∵x＞0，∴x+

1

x

≥2，
∴

2

x+ 1 x

≤1（当且仅当x=1时取等号），…（7分）
∴

2x

x2+1

≤1，∴P≥1．…（8分）
（ III）g(x)=px+

p+2

x

-2lnx（x＞0），
g′(x)=

px2-2x-2-p

x2

=

(px-2-p)(x+1)

x2

…（9分）
（1）当p=0时，总成立，g（x）的单调递减区间为（0，+∞）…（10分）
当p≠0时，g′(x)=

p[x-( 2 p +1)](x+1)

x2

（2）当p＞0时，递增区间为(

2

p

+1，+∞)g（x）的单调递减区间为(0，

2

p

+1)，…（11分）
（3）当p=-2时，g′(x)=

-2x(x+1)

x2

＜0总成立，g（x）的单调递减区间为（0，+∞）…（12分）
（4）当-2＜p＜0时，g（x）的单调递减区间为（0，+∞）…（13分）
（5）当p＜-2时，递增区间为(0，

2

p

+1)，递减区间为(

2

p

+1，+∞)…（14分）

点评：本题考查切线方程的求法，正实数的取值范围的求法，求函数的单调区间，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．