Question

一个医生已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效.试求：

(1)虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率；

(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.

Answer 1

解析：记一个病人服用该药痊愈为事件A，且其概率为p，那么10个病人服用该药相当于10次重复试验.

(1)因新药有效且p=0.35，故由n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式知，试验被否定(即新药无效)的概率为

P₁₀(0)+P₁₀(1)+P₁₀(2)+P₁₀(3)

=p⁰(1-p)¹⁰+p¹(1-p)⁹+p²(1-p)⁸+p³(1-p)⁷≈0.513 8.

(2)因新药无效，故p=0.25，试验被认为有效的概率为

P₁₀(4)+P₁₀(5)+…+P₁₀(10)

=1-P₁₀(0)-P₁₀(1)-P₁₀(2)-P₁₀(3)≈0.224 2.

答：新药有效，但通过试验被否定的概率为0.513 8;而新药无效，但通过试验被认为有效的概率为0.224 2.