Question

求证：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4能被25整除．

Answer 1

分析：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=4•6ⁿ+5n-4=4•（5+1）ⁿ+5n-4，利用二项式定理展开，可提出因数25．

解答：证明：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=4•6ⁿ+5n-4
=4•（5+1）ⁿ+5n-4
=4（

C

0 n

5n

+C

1 n

5n-1+…

+C

n-1 n

5

+C

n n

）+5n-4
=25n+25•[4（5n-2

+C

1 n

5n-3+…

+C

n-2 n

），
因为25n，25•[4（5n-2

+C

1 n

5n-3+…

+C

n-2 n

），均能被25整除，
所以2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=4•6ⁿ+5n-4能被25整除．

点评：本题考查二项式定理的应用，考查学生的推理论证能力．