Question

给出以下结论：
①甲从四面体中任意选择一条棱，乙也从该四面体中任意选择一条棱，则所得的两条棱所在的直线是异面直线的概率是

1

6

；
②等比数列{a_n}中，若a₃=2，a₇=8，则a₅=±4．
③若关于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈（0，1）上没有实数根，则k的取值范围是k≥2；
④在△ABC中，若sinA＞sinB，则cosA＜cosB；
其中正确的结论是

④

（填上所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：①先求出四面体棱中异面直线的对数，再利用古典概型求概率判断；
②利用等比数列的性质求解，判断②是否正确；
③利用导数判定函数的单调性，再求函数的值域，利用函数思想分析判断即可．
④根据在△中，sinA＞sinB的充要条件是A＞B，再利用余弦函数的单调性判断④是否正确．

解答：解：①∵四面体两条棱所在直线共有3对异面直线

3

6×6

=

1

12

，∴①错误；
②根据等比数列的性质， a52=a₃×a₇=16，∴a₅=±4，又∵a₅=-4 时，a₄不存在，∴a₅=4∴②错误；
③∵t=

1

x

-x，t^′=-

1

x2

-1，x∈（0，1），t^′（x）＜0，∴t（x）在（0，1）上递减∴

1

x

-x∈（0，+∞），∵k=

1

x

-x，无实根，∴k≤0，故③错误；
④∵在△ABC中，sinA＞sinB?A＞B，又在（0，π）上y=cosx递减，∴cosA＜cosB，∴④正确．
故答案是④

点评：本题借助考查命题的真假判断，考查等比数列的性质、导数的应用及概率统计．