Question

若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x）为减函数；
（3）当f(4)=

1

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时，解不等式f(x-3)•f(5-x2)≤

1

4

．

Answer 1

分析：（1）只要证明x=0和x＞0时，f（x）＞0．原式中令b=0得f（a）=f（a）•f（0），可求出f（0）=1，再令a和b互为相反数可解．
（2）抽象函数单调性判断只能利用定义，先任取两个自变量，再利用做差或做商法比较两函数值的大小即可．
（3）利用已知等式可（2）中的单调性去掉f符号，转化为x的二次不等式求解即可．

解答：解：（1）设x＞0，则-x＜0，在原式中令b=0得f（a）=f（a）•f（0），故f（0）=1，
再令a=x，b=-x，则f（0）=f（x）•f（-x），所以f（x）=

1

f(-x)

，因为-x＜0，所以f（-x）＞1，
所以0＜f（x）＜1，综上f（x）＞0
（2）任取两个实数x₁和x₂，且x₁＜x₂，则x₂=x₁+m，且m＞0，所以0＜f（m）＜1
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁+m）-f（x₁）=f（x₁）•f（m）-f（x₁）=f（x₁）（f（m）-1）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），所以f（x）为减函数
（3）由f(4)=

1

16

得f（2）=

1

4

，f(x-3)•f(5-x2)≤

1

4

，即f（x-3+5-x²）≤f（2）
由（2）可知x-3+5-x²≥2，即x-x²≥0，所以x∈[0，1]．

点评：本题考查抽象函数的单调性的判断和利用函数的单调性解不等式，综合性较强．