Question

已知圆O:x²+y²=2交x轴于A，B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若点P的坐标为（1,1）,求证:直线PQ与圆相切；

（3）试探究:当点P在圆O上运动时（不与A、B重合）,直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.

Answer 1

（1）椭圆的标准方程为；（2），故直线与圆相切；（3）当点在圆上运动时，,故直线始终与圆相切

解析:

（1）因为,所以c=1

 则b=1,即椭圆的标准方程为

（2）因为（1,1）,所以,所以,所以直线OQ的方程为y=－2x（6分）

又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q（－2,4））

所以,又,所以,即,

故直线与圆相切

（3）当点在圆上运动时,直线与圆保持相切      

证明:设（）,则,所以,,

所以直线OQ的方程为        

所以点Q（－2,）                    

所以,

又,所以,即,故直线始终与圆相切