Question

由三个电子元件j₁，j₂，j₃组成的线路系统如图所示，每个电子元件能正常工作的概率都是t （0＜t＜1）．
（1）求该线路系统正常工作的概率P；
（2）试问函数P（t）在区间（0，1）上是否存在最值？

Answer 1

分析：（1）“该线路系统正常工作”即“线路A、线路B至少一条正常工作”，其对立事件为“线路A、线路B都不能正常工作”，由于各线路能否正常工作相互独立，“线路A、线路B都不能正常工作”的概率为“线路A不能正常工作”的概率乘以“线路B不能正常工作”的概率．
（2）先求函数P（t）的导函数，研究此函数在区间（0，1）的单调性，再根据单调性判断函数有无最值

解答：解：（1）记线路A、线路B正常工作的概率分别为P（A）、P（B）
P（A）=P（j₁）P（j₂）=t² P（B）=t
系统正常工作的概率P=1-P(

.

A

) • P(

.

B

)=1-(1-t2)(1-t)=-t3+t2+t
（2）P'（t）=-3t²+2t+1=-（3t+1）（t-1）
∵当0＜t＜1时，P'（t）＞0
∴P（t）在（0，1）上单调递增
∴P（t）在开区间（0，1）上不存在最值

点评：本题综合考察了独立事件同时发生的概率，对立事件的概率，导数应用等知识，解题时要辨明事件关系，准确判断