题目内容

如图,在Rt△PAB中,∠A是直角,PA=4,AB=3,有一个椭圆以P为一个焦点,另一个焦点Q在AB上,且椭圆经过点A、B.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若以PQ所在直线为x轴,线段PQ的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,求椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,若经过点Q的直线l将Rt△PAB的面积分为相等的两部分,求直线l的方程.
分析:(1)由题意利用椭圆的定义,求出AQ,推出椭圆的长轴与焦距,即可求椭圆的离心率;
(2)设出椭圆的方程,通过(1)求出a,b,即可得到椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,设出经过点Q的直线l的方程,通过直线将Rt△PAB的面积分为相等的两部分,推出
AC
=3
CP
,求出A的坐标,求出C的坐标,即可求直线l的方程.
解答:解:(1)因为椭圆以P为一个焦点,另一个焦点Q在AB上,且椭圆经过点A、B,
所以由椭圆的定义知|AP|+|AQ|=|BP|+|BQ|,
因此4+|AQ|=5+(3-|AQ|),解得|AQ|=2.
于是椭圆的长轴长2a=4+2=6,焦距2c=|PQ|=
42+22
=2
5

故椭圆的离心率e=
2c
2a
=
2
5
6
=
5
3

(2)依题意,可设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

由(1)知,a=3,c=
5
,∴b=
a2-c2
=2
,∴椭圆方程为
x2
9
+
y2
4
=1

(3)依题意,设直线l的方程为y=k(x-
5
)

设直线l与PA相交于点C,则S△QAC=
1
2
S△PAB=3
,故|AC|=3,|PC|=1,从而
AC
=3
CP

设A(x,y),由|AP|=4,|AQ|=2,得
(x+
5
)2+y2=16
(x-
5
)2+y2=4
,解得A(
3
5
5
,-
4
5
5
)

设C(x,y),由
AC
=3
CP
,得
x-
3
5
5
=3(-
5
-x)
y+
4
5
5
=-3y
,解得C(-
3
5
5
,-
5
5
)


k=
1
8

∴直线l的方程为y=
1
8
(x-
5
)
点评:本题考查椭圆的基本性质,椭圆方程的求法,直线方程的应用等知识,考查学生分析问题解决问题的能力,计算能力转化思想的应用.
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