Question

已知函数f(x2-1)=loga

x2

2-x2

（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的表达式，写出其定义域，并判断奇偶性；
（2）求f^-1（x）的表达式，并指出其定义域；
（3）判断f^-1（x）单调性并证明．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f(x2-1)=loga

x2

2-x2

（a＞0且a≠1），令t=x²-1，利用换元法，易求出f（x）的表达式，进而根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x的不等式，解不等式即可求出函数的定义域，判断f（-x）与f（x）的关系，然后根据函数奇偶性的定义，即可判断出函数的奇偶性；
（2）利用指数式与对数式之间的互化关系，我们先将函数的解析式反表示后，再互换x，y的符号，即可得到f^-1（x）的表达式，进而根据使函数解析式有意义的原则，求出函数的定义域；
（3）根据指数函数的单调性，利用分析法，我们易判断出当自变量x增大时，函数值的变化趋势，进而判断出f^-1（x）单调性．

解答：解：（1）令t=x²-1（t≥-1）
则x²=t+1
∵f(x2-1)=loga

x2

2-x2

∴f(t)=log2

t+1

2-(t+1)

=loga

1+t

1-t

∴f(x)=loga

1+x

1-x

要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：-1＜x＜1
故函数f（x）的定义域为（-1，1）
又∵f(-x)=loga

1-x

1+x

=-f（x）
故函数为奇函数
（2）∵f(x)=loga

1+x

1-x

（-1＜x＜1）
∴f^-1（x）=

2x-1

2x+1

由于函数解析式恒有意义
故函数f^-1（x）的定义域为R
（3）∵f^-1（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

当x增大时，2^x+1随之增大，

2

2x+1

随之减小，1-

2

2x+1

随之增大
故f^-1（x）单调递增

点评：本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用，函数的解析式，函数的定义域，函数的奇偶性，函数的单调性判断及其证明，反函数，是函数问题比较综合的考查，有一定的难度，其中熟练掌握指数函数和对数函数的性质是解答本题的关键．