Question

已知（其中k为非零常数）．
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求k的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的数量积，求出函数的表达式，直接利用分类讨论解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，转化为，在（0，+∞）上恒成立，利用基本不等式，求k的范围．
解答：解：（1）=，
则f（x）＞0，即，即，
①如果k＞0，则原不等式等价于x（x-2k）＜0，
∴0＜x＜2k．
②如果k＜0，则原不等式等价于x（x-2k）＜0，
∴x＞0或x＜2k．
综上所述，当k＞0时，原不等式的解集为{x|0＜x＜2k}．
当k＜0时，原不等式的解集为{x|0＜x或x＜2k}．
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立，
即，在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=，∵x＞0，
∴g（x）≥2×2=4，当且仅当x=1时取等号，
∴，解得k＜0或k．
点评：本题考查向量的数量积的应用，基本不等式的应用，分类讨论的思想，考查计算能力．