Question

若（1-2x）⁵展开式中所有项的系数之和为m，（1+x³）（1-2x）⁶展开式中x²的系数为n，则m•n=

-60

．

Answer 1

分析：通过赋值，求出m的值，然后根据题意，先求出（1-2x）⁶展开式的通项，分析可得（1+x³）（1-2x）⁶展开式中出现x²的项有一种情况，（1+x³）中出1，而（1-2x）⁶展开式中出x²项，求出其系数，进而可得n，然后求解m•n的值．

解答：解：由题意x=1可得（1-2x）⁵展开式中所有项的系数之和为m=-1；
根据题意，（1-2x）⁶展开式的通项为T_r+1=C₆^r•（-2x）^r=（-1）^rC₆^r•2^rx^r，
则（1+x³）（1-2x）⁶展开式中出现x²的项有一种情况，
（1+x³）中出1，而（1-2x）⁶展开式中出x²项，其系数为1×（-1）²C₆²2²=60，
则（1+x³）（1-2x）⁶展开式中x²的系数为：n=60；
所以m•n=-60
故答案为：-60．

点评：本题考查二项式定理的应用，解题的关键是由多项式的乘法分析其展开式中x²项出现的情况．