Question

圆C过点（0，-1），圆心在y轴的正半轴上，且与圆（x-4）²+（y-4）²=9外切．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）直线l过点（0，2）交圆C于A、B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l的倾斜角α的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出圆的方程，利用圆C过点（0，-1），圆与圆（x-4）²+（y-4）²=9外切，建立方程，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为，求出以AB为直径的圆半径R，原点与l的距离d'，利用原点O在以AB为直径的圆内，可得d'＜R，从而可求直线l的倾斜角α的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）圆C的圆心在y轴的正半轴上，故可设方程为x²+（y-b）²=r²，b＞0，r＞0
由条件知 （-1-b）²=r²（1）
∵圆与圆（x-4）²+（y-4）²=9外切，∴两个圆心间的距离等于两个半径之和，
∴（0-4）²+（b-4）²=（r+3）²（2）
由（1）（2）解得b=1，r=2
从而圆C的方程为x²+（y-1）²=4；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，即kx-y+2=0
∵C与l的距离d=

1

k2+1

，∴以AB为直径的圆半径R=

4-d2

=

4k2+3 k2+1

∵原点O在以AB为直径的圆内，原点与l的距离d'=

2

k2+1

∴d'＜R，即

2

k2+1

＜

4k2+3 k2+1

∴k＜-

1

2

或k＞

1

2

．
斜率不存在时也成立
∴直线l的倾斜角α的取值范围为（arctan

1

2

，π-arctan

1

2

）．

点评：本题考查圆的标准方程，考查点与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．