Question

已知定义在区间上的函数y=f（x）的图象关于直线对称，当时，函数f（x）=sinx．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求y=f（x）的函数表达式；
（Ⅲ）如果关于x的方程f（x）=a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为M_a，求M_a的所有可能取值及相对应的a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中定义在区间上的函数y=f（x）的图象关于直线对称，我们易得，，结合当时，函数f（x）=sinx，即可求出答案．
（II）根据已知中在区间上的函数y=f（x）的图象关于直线对称，当时，函数f（x）=sinx．我们可根据函数图象对称变换法则求出函数在区间上的解析式，进而得到y=f（x）的函数表达式；
（Ⅲ）作函数f（x）的图象，分析函数的图象得到函数的性质，分类讨论后，结合方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为M_a，即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）
…（4分）
（Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象关于直线对称，
又∵当时，函数f（x）=sinx．
∴当时，

f（x）=…（8分）
（Ⅲ）作函数f（x）的图象（如图），显然，若f（x）=a有解，则a∈[0，1]
①，f（x）=a有解，M_a=②，f（x）=a有三解，M_a=
③，f（x）=a有四解，M_a=π
④a=1，f（x）=a有两解，M_a=…（12分）
点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法--图象变换法，根的存在性及根的个数的判断，其中根据已知函数y=f（x）的图象关于直线对称，当时，函数f（x）=sinx．根据对称变换法则，求出函数的解析式是解答本题的关键．