题目内容
【题目】已知直线l: (t为参数,α≠0)经过椭圆C:
(φ为参数)的左焦点F.
(1)求实数m的值;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,求|FA|×|FB|取最小值时,直线l的倾斜角α.
【答案】
(1)解:椭圆C: (φ为参数)化为普通方程:
=1,
可得:a=2,b= ,c=
=1,可得左焦点F(﹣1,0),
直线l: (t为参数,α≠0)化为普通方程:y=(x﹣m)tanα,
经过定点(m,0),因此m=﹣1.
(2)解:将直线的参数方程: (t为参数,α≠0)
代入椭圆C的普通方程中整理得:(3+sin2α)t2﹣6tcosα﹣9=0,
设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=﹣ .
则|FA|×|FB|=|t1t2|= ,当sinα=±1时,|FA||FB|取最小值
,
∵α∈(0,π),∴ .
∴|FA||FB|取最小值时,直线l的倾斜角α= .
【解析】(1)椭圆C: (φ为参数)化为普通方程:
=1,利用c=
,可得左焦点F(﹣c,0),直线l:
(t为参数,α≠0)化为普通方程:y=(x﹣m)tanα,经过定点(m,0),可得m.(2)将直线的参数方程:
(t为参数,α≠0)代入椭圆C的普通方程中整理得:(3+sin2α)t2﹣6tcosα﹣9=0,利用根与系数的关系及其|FA|×|FB|=|t1t2|,即可得出.
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